截长补短的方法适用于求证线段的和差倍分关系。
截长，指在长线段中截取一段等于已知线段；补短，指将短线段延长，延长部分等于已知线段。
截长补短的目的是把几条线段之间的数量关系转换为两条线段的等量关系。该类题目中常出现等腰三角形、角平分线等关键词句，可以***用截长补短法构造全等三角形来完成证明过程。
截长边
如图，已知在△ABC中，∠C=2∠B，AD平分∠BAC交BC于点D。
求证：AB=AC+CD。
证明:
截长边，证全等
在AB上截取AE=AC，
∵AD平分∠BAC交BC于点D
∴∠CAD=∠BAD
在△ACD和△AED中
AC=AE
∠CAD=∠BAD
AD=AD
∴△ACD≌△AED（SAS）
2.由全等，推等腰
∴∠AED=∠C,CD=ED
∵∠C=2∠B
∴∠AED=2∠B
又∵∠AED=∠EDB+∠B
∴∠EDB=∠B
∴EB=ED
∴CD=EB
3.转换边，得结论
∵AB=AE+EB
∴AB=AC+CD
构造全等三角形的方法有：
1．截长补短法。
2．平行线法（或平移法）：若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，
对Rt△,有时可作出斜边的中线。
3．旋转法：对题目中出现有一个公共端点的相等线段时，可试用旋转方法构造
全等三角形。
4．倍长中线法：题中条件若有中线，可延长一倍，以构造全等三角形，从而将
分散条件集中在一个三角形内。
5．翻折法：若题设中含有垂线、角的平分线等条件的，可以试用轴对称性质，
沿轴翻转图形来构造全等三角形。
1．截长补短法（通常用来证明线段和差相等）
“截长法”即把结论中最大的线段根据已知条件分成两段，使其中一段与较短线段相等，然后证明余下的线段与另一条线段相等的方法．“补短法”为把两条线段中的一条接长成为一条长线段，然后证明接成的线段与较长的线段相等，或是把一条较短的线段加长，使它等于较长的一段，再证明加长的那部分与另一较短的线段相等．
2．平行线法（或平移法）
若题设中含有中点可以试过中点作平行线或中位线，对Rt△,有时可作出斜边的中线。
截长：1.过某一点作长边的垂线 2.在长边上截取一条与某一短边相同的线段，再证剩下的线段与另一短边相等。
补短：1.延长短边 2.通过旋转等方式使两短边拼合到一起。
例1 已知：如图1-1所示，在四边形ABCD中，BC＞BA，AD=CD，BD平分∠ABC，
求证：∠A + ∠C = 180°
分析：因为平角等于180°，因而应考虑把两个不在一起的角通过全等转化成为平角，图中缺少全等的三角形，因而解题的关键在于构造等腰三角形，可通过“截长补短法”来实现.
证明： 在BC上截取BE=AB，连接DE，再取EC的中点M，连接DM
∵ AB = BE
又 ∵ BD平分∠ABC A D
∴ ∠ABD = ∠EBD
在△ABD与△EBD中,
AB = BE
∠ABD = ∠EBD
BD = BD B E M C
∴△ABD≌△EBD（SAS） 如图1-1
∴ AD = ED ∠A = ∠BED ，
∵AD = DC ， ∴ED = DC ∴∠ C = ∠DEC
∴∠A + ∠C = ∠BED +∠DEC = 180°
例2 已知：如图2-2，AE//BC，AD、BD分别平分?0?4EAB、?0?4CBA，EC过点D。
求证：AB=AE+BC
分析一：要证AB=AE+BC观察AD、BD是角平分线，因而可将DAED沿A翻折，从而需添加***线在AB上截取BF=BC，只需要推证出AF=AE，则可以使问题得以解决，那么如何推证AF=AE成为解决问题产关键。由于DAED、DADB、DBD的内角和都是180°，且?0?4EDC=180°，又由于AE//BE，因此?0?4E+?0?4C=180°从而?0?4EAB+?0?4CBA=180°，由AD、BD是角平分线，可推出?0?41+?0?44=90°，从而可推证出?0?4ADB=90°，因而?0?46+?0?48=90°。若能推证出?0?47=?0?48，那么只需要推证出DAED≌DAFD，从而可推证出AE=AF、由于BC=BF，?0?41=?0?42，BD是公共边，因此可推证出DBFD≌DBCD，则?0?45=?0?46，由于?0?45+?0?47=90°因此，?0?46+?0?47=90°，又由于?0?46+?0?48=90°，从而可推出?0?47=?0?48，由此可由AD是公共边，?0?43=?0?44推证出DAED≌DAFD，从而思路畅通，推证出AE=AF，由等量代换可推证出AB=AE+BC。
证明一：在AB上截取BF=BC，连结DF。
∴ BD是?0?4ABC的平分线，∴?0?41=?0?42
在DBDF和DBDC中
（公共边）
∴DBDF≌DBDC(SAS) 如图2-2
∴?0?45=?0?46（全等三角形对应角相等）
∴?0?43+?0?48+?0?4E=?0?44+?0?41+?0?45+?0?47=?0?42+?0?46+?0?4C=180°（三角形内角和定理）
∴?0?4E+?0?4EAB+?0?4ABC+?0?4C+?0?4EDC=540°
又∴AE//BC∴?0?4E+?0?4C=180°（两直线平行同旁互补）
又∵?0?4EDC=180°∴?0?41+?0?42+?0?43+ ?0?44=180°
∴AD是?0?4EAB的平分线 ∴?0?43=?0?44
∴?0?41+?0?44=90° ∴?0?45+?0?47=90°（三角形内角和定理）
∴?0?46+?0?48=90° ∵?0?45=?0?46 ∴ ?0?47=?0?48
在DAED和DAFD中
∴DAED≌DAFD (ASA)
∴AE=AF（全等三角形对应边相等）
∵ AF+FB=AB
∴AE=FB=AE+BC=AB
即AB=AE+BC
分析二：延长BC交AD的延长线于F。要证AB=AE+BC，只需要证明BF=AB，只需要推证出CF=AE。而要证CF=AE，只需要推证出含有CF、AE 的两个三角形DAED≌DFCD由于?0?45=6，AE//BC，因此可推出?0?43=?0?4F，若要推证出AD=FD，成为解决问题的关键，由于四边形AECB的内角和等于360°，?0?4E+?0?4BCE=180°，因此可知?0?4EAB+?0?4CBA=180°，又由于AD、BD是?0?4EAB、?0?4CBA的平分线，从而可推出?0?41+?0?44=90°，因此?0?4ADB=90°，则?0?4EDB=90°，推到此，他们通过观察图形可根据ASA推证出DABD≌DFBD，从而推证出AD=FD，思路形成。
证明二：如图2-3,延长BC、AD交于F
在DAED、DADB、DBDC中
三个三角形的内角和共为540°（三角形内角和定理）
又∵?0?4EDC=180°（平角定义） ∴?0?4E+?0?4C+?0?4EAB+?0?4ABC=180°
AE//BC ∴ （两直线平行同旁内角互补）
∴?0?43+?0?44+?0?41+?0?42=180°
又∴AD、BD分别是?0?4EAB、?0?4ABC的平分线
∴?0?43=?0?44，?0?41=?0?42（角平分线定义）
∴?0?41+?0?44=90° ∴?0?4ADB=90°（三角形内角和定理）
∴?0?4BDF=90° 在DADB和DBDF中
∴DADB≌DBDF(ASA)
∴AD=FD, AB=FB，?0?44=?0?4F（全等三角形对边，对应角相等） 如图2-3
在DAED和DFCD中
∴DAED≌DFCD
∴AE=FC ∵ BF=BC+FC ∴BF=BC+AE ∴AB=AE+BC
例3 已知：如图3-1所示，AD为△ABC的角平分线，AB＞AC,
求证：AB—AC＞BD—DC
分析：欲证AB—AC＞BD—DC，需把AB与AC的差，BD与DC的差或它们相等的量转化为同一个三角形的边，再利用三角形三边的关系加以证明。
证明： 方法一： 截长法
在AB上截取AE = AC，连接ED。 A
∵AD平分∠BAC ∴ ∠BAD = ∠DAC
在△ADE与△ADC中, E
AE = AC
∠EAD= ∠DAC B D C
AD = AD 如图3-1
∴ △ADE≌△ADC （SAS）∴ D E = D C
在△ABD中，BE ＞ BD —DE （三角形两边之差小于第三边）
即 AB—AE＞BD—DC
∴ AB—AC＞BD—DC （等量代换）
方法二： 补短法
延长AC到点E，使AE = AB，连接DE A
∵AD平分∠BAC ∴ ∠BAD = ∠DAC
在△BAD与△EAD中,
AB = AE C
∠BAD = ∠DAC B D E
AD = AD
∴ △ADE≌△ADC （SAS） ∴ D B= D E 如图3-2
在△ABD中， EC ＞DE —DC （三角形两边之差小于第三边）
即 AE—AC＞DE—DC ∴ AB—AC＞BD—DC
例4 已知：如图4-1，在△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2.
求证：AB=AC+CD.
分析：从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长AC至E使CE=CD，或在AB上截取AF=AC.
证明：方法一（补短法）
延长AC到E，使DC=CE，则∠CDE＝∠CED，如图4-2
图4-2
∴∠ACB＝2∠E，
∵∠ACB＝2∠B，∴∠B＝∠E，
在△ABD与△AED中,
∴△ABD≌△AED（AAS）
,∴AB=AE.
图4-3
又AE=AC+CE=AC+DC，
∴AB=AC+DC.
方法二（截长法）
在AB上截取AF=AC，如图4-3
在△AFD与△ACD中,
∴△AFD≌△ACD（SAS）,∴DF=DC，∠AFD＝∠ACD.
又∵∠ACB＝2∠B， ∴∠FDB＝∠B，
∴FD=FB. ∵AB=AF+FB=AC+FD，
∴AB=AC+CD.
截长补短法的20种模型，相关内容如下：
1. 数学模型：
线性规划模型： 通过线性规划对问题进行分析和解决，尤其在优化问题中应用广泛。
差分方程模型： 用于描述系统随时间变化的动态过程，比如人口增长、物种竞争等。
概率模型： 用于处理随机性问题，包括贝叶斯模型、马尔科夫链等。
统计模型： 例如回归分析、方差分析等，用于分析数据间的关系和变化趋势。
微分方程模型： 用于描述变化率，例如生态系统中的人口增长、化学反应速率等。
2. 科学模型：
地球气候模型： 用于预测气候变化趋势、天气模式等，以应对环境问题。
生态系统模型： 描述生态系统中各种生物间的相互作用和影响，有助于环境保护和生态平衡。
3. 管理模型：
供应链模型： 用于优化生产与销售之间的供应链，提高效率和降低成本。
决策树模型： 用于***决策，分析多种选择方案，帮助做出最优决策。
风险管理模型： 用于分析、评估和降低风险，涉及投资、金融、企业管理等领域。
4. 工程模型：
结构力学模型： 用于预测结构在外部力作用下的变形、破坏等情况，指导工程设计。
电路模型： 描述电路中各个元件之间的电流、电压关系，帮助设计和优化电路。
流体力学模型： 描述流体在不同环境中的流动特性，包括水流、空气流动等。
5. 计算机科学模型：
神经网络模型： 模仿人类神经系统的结构和工作原理，用于图像识别、预测等。
机器学习模型： 通过大量数据训练机器，从而让机器自主学习和适应新情况。
6. 社会科学模型：
经济模型： 用于研究经济现象和规律，包括供求关系、价格变化等。
社会网络模型： 描述人际关系网中的连接和交互，有助于理解社会动态和信息传播。
7. 医学模型：
疾病传播模型： 用于预测疾病在人群中的传播趋势和控制策略。
药物代谢模型： 描述药物在人体内的代谢过程和作用机制。
病理模型： 用于研究疾病的发病机制和治疗方法，促进医学科学进步。
关于“截长补短法的经典图形”如下：
截长补短法是一种常用的几何解题方法，它的核心思想是通过***线的帮助，将一个多边形的长或宽进行分割，然后通过补足或截取的方式，将多边形转化为一个或几个已知的几何图形，从而解决多边形的面积、周长等问题。
以下是几个经典的截长补短法图形：
矩形ABCD中，AC、BD为对角线，延长CB至E，使CE=CA，再延长DA至F，使AF=AD。连接EF、EB，求证：EF=2BD。
这个图形可以看作是将矩形ABCD的对角线AC、BD进行了截长补短。通过延长CB至E，使CE=CA，再延长DA至F，使AF=AD，我们可以将矩形ABCD分成两个小的矩形和一个正方形。连接EF、EB后，可以发现EF其实就是两个小矩形的对角线之和，也就是2BD。
矩形ABCD中，延长CB至E，使CE=CA，连接AE、BD。求证：AE=BD。
这个图形同样是将矩形ABCD的一条对角线AC进行了截长补短，使它变成了一条与矩形的一边平行的线段。通过连接AE、BD后，可以发现AE其实就是两个小矩形的对角线之和，也就是BD。
直角三角形ABC中，延长AB至D，使BD=BC，连接CD。求证：AD=2AB。
这个图形是将直角三角形ABC的一条直角边BC进行了截长补短，使它变成了一条与斜边AB平行的线段。通过连接CD后，可以发现AD其实就是两个小直角三角形的斜边之和，也就是2AB。
这些经典的截长补短法图形都是通过巧妙地分割和转化多边形，将复杂的问题转化为简单的问题来解决。它们不仅展示了截长补短法的灵活性和实用性，也给我们带来了更多的启示和思考。
